Форма входа

Каталог работ

Общая информация » Каталог » ЭКОНОМЕТРИКА » Разное

Эконометрика ВГАУ (контрольная)


Нужна готовая работа? пришлите ссылку на страницу в WhatsApp

Эконометрика ВГАУ (контрольная)
13.09.2015, 00:13

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

 

Данные представлены таблицей значений независимой переменной  X и зависимой переменной Y.

Задание

1.     Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении связи.

2.     На уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3.     Составить уравнение парной регрессии .

4.     Нанести данные на чертеж и изобразить прямую регрессии.

5.     С помощью коэффициента детерминации оценить качество построенной модели.

6.     Оценить значимость уравнения регрессии с помощью дисперсионного анализа.

7.     При уровне значимости a = 0,05 построить доверительные интервалы для оценки параметров регрессии , и сделать вывод об их значимости.

8.     При уровне значимости a = 0,05 получить доверительные интервалы для оценки среднего и индивидуального  значений зависимой переменной Y, если значение объясняющей переменной X принять равным .

 

Исходные данные для контрольной работы №1 по вариантам:

 

1

x

56

70

81

78

64

60

72

79

89

98

y

24

37

42

34

29

25

31

35

42

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

76

87

99

91

84

90

98

106

99

91

y

54

61

66

60

53

59

67

74

69

62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

95

104

113

102

96

89

98

109

116

103

y

44

48

55

49

41

34

42

48

57

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x

66

60

49

42

50

55

61

57

51

44

y

39

36

30

27

31

35

40

37

32

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x

100

94

90

87

93

99

105

111

104

98

y

77

72

68

63

67

70

77

82

79

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x

99

110

117

122

115

101

94

104

114

123

y

53

60

68

73

69

62

54

61

67

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

x

54

63

69

76

81

75

70

72

78

86

y

22

27

34

39

42

37

33

35

38

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

x

90

97

107

116

104

96

106

118

109

101

y

55

61

67

83

78

73

80

85

78

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

x

48

56

58

61

65

63

60

56

60

64

y

30

33

35

38

41

39

36

33

35

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

x

91

85

81

85

89

93

90

86

80

84

y

62

55

49

54

60

69

61

54

50

53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть имеются следующие данные:

 

x

83

72

69

90

90

95

95

91

75

70

y

56

42

18

84

56

107

90

68

31

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вычисление коэффициента корреляции  проведем по формуле

 ,

а расчёт параметров  и  выборочного уравнения парной регрессии  соответственно по формулам

 ,   ,

где  ,  а  объём выборки.

Для расчётов удобно использовать следующую таблицу:

 

                                                                                              Таблица 1.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

83

56

6889

3136

4648

60,000

4,000

16,000

2

72

42

5184

1764

3024

34,678

-7,322

53,612

3

69

18

4761

324

1242

27,772

9,772

95,492

4

90

84

8100

7056

7560

76,114

-7,886

62,189

5

90

56

8100

3136

5040

76,114

20,114

404,573

6

95

107

9025

11449

10165

87,624

-19,376

375,429

7

95

90

9025

8100

8550

87,624

-2,376

5,645

8

91

68

8281

4624

6188

78,416

10,416

108,493

9

75

31

5625

961

2325

41,584

10,584

112,021

10

70

48

4900

2304

3360

30,074

-17,926

321,341

830

600

69890

42854

52102

600,00

0,000

1554,796

 

З а м е ч а н и е. Столбцы 7 – 9 таблицы 1 заполняются после получения выборочного уравнения прямой регрессии и  будут необходимы для выполнения последующих пунктов задания.

Используя результаты вычислений, представленные в таблице 1.1, найдём значение выборочного коэффициента корреляции:

Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными  и  имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением одной из переменных значения другой переменной также увеличиваются.

 

2. Для оценки значимости коэффициента корреляции следует использовать статистику

,

которая в условиях нулевой гипотезы  имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным . В нашем случае получаем следующее расчётное значение статистики:

.

Используя таблицы распределения Стьюдента при заданном уровне надёжности  () и числе степеней свободы, равном 8, определим критическое значение статистики

.

Поскольку  > , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

3. Для того чтобы составить выборочное уравнение прямой регрессии, необходимо вычислить коэффициенты  и . Используя результаты расчётов, представленных в таблице 1.1, находим

,

.

Таким образом, получаем следующее регрессионное уравнение:

Y = -131,066 + 2,302*X .

 

Прямая регрессии представлена на рис.1.1.

 

Рис. 1.1.

 

5. Качество регрессионной модели может быть оценено с помощью коэффициента детерминации , который определяется формулой

,

где ,  – расчётные (прогнозные) значения величины , полученные подстановкой соответствующих значений X в уравнение регрессии. Для вычисления этих значений используются столбцы 7 – 9 таблицы 1.1. В нашем случае имеем

  .

Коэффициент детерминации показывает, какую часть вариации (дисперсии) зависимой переменной Y  воспроизводит (объясняет) построенное уравнение регрессии. В нашем случае построенное уравнение регрессии на 77,3% объясняет зависимость переменной  от переменной X.

З а м е ч а н и е. Для проверки правильности расчётов можно воспользоваться соотношением

6. Проверка значимости уравнения регрессии заключается в установлении его существенности. Другими словами эта проверка даёт ответ на вопрос о том, насколько можно быть уверенным, что рассматриваемая регрессионная зависимость действительно наличествует в генеральной совокупности, а не является результатом случайного отбора наблюдений.

Проверка значимости регрессионной зависимости производится методом однофакторного дисперсионного анализа, где в качестве фактора выступает построенное уравнение регрессии. Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде стандартной таблицы 1.2.

        

Таблица 1.2

Компоненты вариации

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средние

квадраты

F -отношение

Регрессия

1

Остаточная

Общая

 

 

В нашем случае при расчёте сумм квадратов следует принять во внимание следующие равенства:

;

С учётом результатов, представленных в таблице 1.1, получим следующие значения:

;  .

Тогда таблица дисперсионного анализа  примет вид таблицы 1.3.

При отсутствии линейной зависимости между переменными X и Y  статистика   имеет распределение Фишера с числом степеней свободы ;  n –2 = 8.

 

Таблица 1.3

Компоненты вариации

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Средние

квадраты

F -отношение

Регрессия

5299,204

1

5299,204

Остаточная

1554,796

8

194,350

Общая

6854,000

9

 

 

Принимая стандартный 5% уровень значимости, в таблице критических точек распределения Фишера находим .

Поскольку  превышает , то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

7. Исправленные выборочные оценки стандартных отклонений (ошибок) МНК-коэффициентов регрессии вычисляются по формулам

  

Используя результаты вычислений из предыдущих пунктов, получаем

;

83,6.

Отсюда

 0,441;

36,88.

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии  и  имеют соответственно вид

;

.

Если окажется, что  доверительный интервал включает 0, то соответствующий коэффициент регрессии объявляется незначимым.

При заданном уровне значимости  a = 0,05 и числе степеней свободы, равном , где  заданный объем выборки (у нас ) критическое значение статистики Стьюдента .

Теперь строим доверительные интервалы для  и  соответственно:

;=.

Поскольку ни  один из полученных интервалов не включает нулевое значение, делаем вывод о значимом отличии от нуля коэффициентов  и .

8. Интервал для прогноза среднего значения зависимой переменной при значении объясняющей переменной  (точнее, прогноза ) по линейному уравнению регрессии имеет вид

,

где  находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента для заданных значений g  и числа степеней свободы   (в случае парной регрессии).  Мы уже  знаем, что  при   и         g = 0,95 (т.е. .

Вычисляем  с учетом полученных ранее результатов:

.

Из выборочного уравнения прямой регрессии имеем

.

Получаем окончательный вид искомого доверительного интервала:

=

=

или

.

 

Для расчета доверительного интервала возможных индивидуальных значений наблюдений при значении объясняющей переменной  применяется формула

,

где

=

=.

Окончательно получаем

=

=

 


Нужна готовая работа? пришлите ссылку на страницу в WhatsApp

Артикул:360712
UNO:
Поиск по сайту
Оформить заказ
Copyright MyCorp © 2021